Школьникам: Занимательная математика • Логические задачи
Студентам: Высшая алгебра • Векторная алгебра • Аналитическая геометрия • Численные методы
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким образом, скалярное произведение равно:
a · b = |a| · |b| · cos φ
Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.
Свойства скалярного произведения
- Свойство перестановки: a · b = b · a (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);
- Свойство распределения: a · (b · c) = (a · b) · c (результат не зависит от порядка умножения);
- Свойство сочетания (по отношению кскалярному множителю): (λ a) · b = λ (a · b).
- Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпердикулярны друг к другу)a ┴ b;
- Свойство квадрата: a · a = a2 = |a|2 (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);
- Если координаты векторов a={x1, y1, z1} и b={x2, y2, z2}, то скалярное произведение равно a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Типовые задачи
Задача 1: угол между векторами a и b составляет φ=2π/3, а их модули равны |a|=2 и |b|=3. Вычислить (5a + 3b) · (3a - 2b).
Решение: (5a + 3b) · (3a - 2b) = 15a2 - ab - 6b2 = 60 - 3 - 54 = 3. Здесь использовано то, что a2 = |a|2 = 22 = 4, b2 = |b|2 = 32 = 9, ab = |a|·|b|·cos(φ) = 2·3·cos(2π/3) = 3.
Ответ: (5a + 3b) · (3a - 2b) = 3.
Задача 2: даны вершины треугольника A(1,2,3), B(3,4,4), C(4,8,1). Определить угол между сторонами AB и AC.
Решение: косинус угла между векторами b и c равен cosφ = b · c / (|b|·|c|). Найдем вектора через соответствующие вершины треугольника: b = AB = {3-1, 4-2, 4-3} = {2, 2, 1} и c = AC = {4-1, 8 - 2, 1 - 3} = {3, 6, -2}. Модули векторов равны |b| = (22+22+12)1/2 = 3 и |c| = (23+32+(-2)2)1/2 = 7. Скалярное произведение равно: b · c = 2·3+2·6+1·(-2)=16. Подставляя в формулу для косинуса угла получим cosφ = 16/21, следовательно φ = arccos(16/21).
Ответ: φ = arccos(16/21).
При перепечатке материалов указание активной гипертекстовой ссылки на источник http://originweb.info/ и автора статьи обязательны.
Время создания страницы 0.0103 сек.
Комментарий. Для обозначения векторов используется полужирный шрифт, а для обозначения скаляров - простой. Скаляр, обозначающий длину вектора обозначается через знак модуля (||). Например, вектор a имеет модуль (длину) равную |a|, а если этот вектор умножить на скаляр λ, то получим вектор λa.